Espejos concavos inconvexos

¿ Qué son punto exterior, punto interior y punto frontera?

Consideremos a R² ,  el plano euclideano con la métrica usual, y A  el conjunto formado por todos los puntos del primer cuadrante 

A =  {(x, y) en R² , tales que x > 0  e y > 0 }

Entonces el punto a = ( 3, 5) , de color rojo en el dibujo, es un punto interior de A. Hemos trazado una vecindad, de color marrón, que lo contiene y a su vez está contenida en A. Se puede mostrar que todos los puntos de A son puntos interiores.

Sea A un subconjunto de un espacio métrico M. Un punto a en A, se llama punto interior de A, si existe un abierto U conteniendo a a, tal que U Í  A.

Sea ahora el conjunto b, formado por el eje horizontal positivo

B =  {(x, y) en R² , tales que   x > 0 e y = 0 }

En el conjunto B, por otra parte, no hay puntos interiores. Un punto cualquiera de B, como el punto azul en la figura, no puede ser encerrado dentro de un conjunto abierto contenido en B. Hemos trazado un abierto, con la línea negra punteada, pero éste se sale de B.

El conjunto de todos los puntos interiores de un conjunto A, denotado por int (A) se llama el interior de A.

Se puede demostrar que A es abierto sí y sólo si todos sus puntos son interiores o también

A es abierto sí y sólo si A = int(A)

   La frontera de un conjunto A.

 En un conjunto A, vamos a considerar los puntos de la frontera. En M, pueden existir puntos b, tales que toda vecindad U que contiene a b contiene tanto puntos de A y como puntos del complemento de A. Estos son los llamados puntos frontera de A. El punto azul, en el dibujo de arriba es un punto frontera. El conjunto conjunto de todos estos puntos se llama la frontera de A, y se  denota porδ(A). En el ejemplo dado todos los puntos de B son parte de la frontera de A. ¿ Cuál es la frontera de A?

El exterior de A.

Un punto de M que se encuentra en el interior del complemento  A, se dice que es un punto exterior de A. Por ejemplo, el punto verde arriba está en el exterior de A. El exterior de A = int ( M \ A) estará formado por todos los puntos exteriores.

Tenemos la relación fundamental que liga estos tres conceptos como una unión disjunta..

 M = int (A)  ∪ δ(A) ∪ext (A).

 Descartes y su desarrollo en el plano cartesiano 

Renatus Cartesius: adjetivo: "cartesiano",31 de marzo 1596 (hasta 11 de febrero 1650) fue un filósofo francés,matemático y escritor que pasó la mayor parte de su vida adulta en la República Holandesa. Ha sido apodad como "el padre de la filosofía moderna", y mucho después la filosofía  occidental es una respuesta a sus escritos, que se estudian de cerca a este día. En particular, sus meditaciones metafísicas sigue siendo un texto estándar en la mayoría de los departamentos de filosofía de la universidad. Influencia de Descartes en las matemáticas es igualmente evidente, el sistema de coordenadas cartesiano- permitiendo  que las ecuaciones algebraicas que se expresan como formas geométricas en un sistema de coordenadas bidimensional (ya la inversa,las formas que se describen en forma de ecuaciones)- fue nombrado después de él. El es  reconocido   como el padre de la geometría analítica, el puente entre el álgebra y la geometría, que es crucial para el descubrimiento de cálculo infinitesimal y análisis.